Les caractéristiques de tendance centrale
Calculer une caractéristique de tendance centrale revient à définir une valeur autour de laquelle se repartissent des observations.
La moyenne arithmétique
La moyenne arithmétique (souvent noté
) est l'indicateur de tendance centrale le plus connu et le plus utilisé. Il se calcule en faisant la somme des observations et en divisant le résultat par le nombre d'observations.
est le nombre total d'observations
On note
(x barre) la moyenne arithmétique.
On note
(x i) l'ensemble des valeurs de la variable :
(x 1) la valeur pour la première observation,
(x 2) la valeur de la deuxième observation, etc.
On note
(somme des x i) pour la somme des observations :
La moyenne arithmétique est donc :
Exemple :
Un bûcheron a mesuré, dans une forêt, la circonférence en mètre de 10 troncs arbres (
) :
Quel est le diamètre moyen de cet échantillon d'arbres ?
(il y a 10 arbres).
mètres
Remarque :
La moyenne arithmétique est très sensible aux variations des valeurs extrêmes, c'est pourquoi c'est une caractéristique de tendance centrale considérée comme peu robuste. Pour compléter les informations qu'elle fournit sur la distribution on fera donc aussi appelle à la médiane.
La médiane
La médiane est la valeur de la variable qui divise l'échantillon en deux ensembles de mêmes effectifs.
Lorsque
est impair, la médiane est la valeur de la variable qui partage la distribution et deux parties égale.
Pour trouver la médiane, il est nécessaire d'ordonner la distribution par ordre croissant.
Exemple :
Quelle est la médiane de l'ensemble des nombres 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10 ?
Il y a
nombres,
. La médiane est le nombre « du milieu » :
.
Lorsque la distribution a un nombre de valeurs paires (n est pair) la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.
Exemple :
Quelle est la médiane de l'ensemble des nombres 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18 ?
Les deux nombres « du milieu » sont
et
la pour médiane est donc
.
Remarque :
Contrairement à la moyenne arithmétique, la médiane n'est pas sensible aux variations des valeurs extrêmes.
Conclusion
La moyenne et la médiane sont deux indicateurs de tendance centrale simple et très utilisés. Pour en découvrir d'autres vous pouvez vous notamment consulter [1] [1] Monino et al. (2007)[1].
